개요

몇 가지 포트폴리오 최적화(portfolio optimization) 방식을 알아봅니다.

어떤 자산군을 편입해서 가져갈 것인지 결정이 끝났다면 비중을 결정해야 합니다. 가장 단순하게는 동일 비중으로 가져갈 수 있고, 기호에 따라 변동성 최소화(minimum variance), 분산 효과 최대화(maximum diversification), 위험 균형(risk parity) 정도를 선택할 수 있습니다. 저는 위험 균형을 좋아하지만, 다른 방식들도 유명한 방식이니 알아보겠습니다.

먼저 minimum variance 방식을 보겠습니다. 상관관계가 1보다 낮은 자산군들에 분산하여 투자하면 분산 투자를 하지 않을 때보다 변동성(표준편차)이 줄어듭니다. 각 자산에 대한 투자 비중은 공매도를 허용한다면 음수가 가능하고, 공매도를 허용하지 않는다면 각 자산의 비중은 양수입니다. 투자자들이 관심을 가질 만한 부분은 동일 위험에서의 최대 수익률 또는 동일 수익률에서 최소 위험입니다. 가능한 자산군 조합 중에서 동일한 수익률에서 위험이 최소가 되는 조합들은 그림의 파란 선으로, minimum-variance set이라 합니다. 여기서 같은 위험 수준으로 높은 수익률을 낼 수 있는 초록색 선 부분을 efficient frontier라고 하고, 투자자들은 이 초록색 선에 관심을 가집니다.

아래 조건에서 최적화를 하면 수익률이 정해진 상태에서의 minimum variance 방식의 최적화가 됩니다. (mean variance optimization이라 볼 수 있습니다) 각 자산의 비중이 양수라는 제한을 넣을 수도 있고 (레버리지와 공매도를 허용하지 않음), 수익률에 대한 조건을 빼 버리면 가능한 efficient frontier 중 최소의 변동성을 가지도록 만들 수 있습니다. (minimum variance portfolio라고 볼 수 있습니다)

Choueifaty, Coignard (2008)은 Minimum Variance 방식보다 Maximum Diversification (최대 분산 효과) 방식이 더 좋다고 주장합니다. 포트폴리오 변동성은 아래 식처럼 나타납니다. 상관관계 항이 있기 때문에 상관관계가 낮을수록 변동성이 줄어들고, 이것이 분산효과입니다.

분산 효과의 정도를 나타내는 지표를 분산 비율(Diversification Ratio)이라 합니다. 식으로는 아래처럼 표현되고, 분자는 개별 변동성의 가중합, 분모는 포트폴리오 변동성입니다. 모든 자산의 상관관계가 1이면 분산 비율이 1이 되고, 상관관계가 1보다 작으면 분산 비율은 1보다 커집니다. 최대 분산 효과 방식은 이 분산 비율을 최대화하는 것입니다.

그런데, 최적화를 손으로 하기는 힘드니 프로그램을 써야 하는데, 대부분은 minimize 문제에 맞지 maximize 문제에 맞는 것들이 아닙니다. 그래서 분산 비율 최대화를 적당한 대체재를 최소화하는 것으로 바꾸어야 합니다.

Choueifaty, Coignard (2008)은 개별 자산 X에 차입을 허용하고, 개별 자산의 변동성으로 표준화해서 변동성을 1로 만든 synthetic asset을 사용합니다. 그러면 분산 비율에서 비중 합이 1이니 분자 부분이 1이 되고, 분모의 공분산 행렬은 변동성이 1인 것들이라 상관관계 행렬이 됩니다. 그러면 분산 비율 최대화 문제는 공분산 행렬을 상관관계 행렬로 바꾼 것의 최소화 문제가 됩니다.

최대 분산 효과 방식의 성과는 동일 가중(EW), 벤치마크(시총 가중), 최소 분산(MV, minimum variance) 방식보다 뛰어납니다.

Choueifaty et al (2013)은 최대 분산 효과 문제를 최소 분산 방식의 최적화 목적함수와 같은 목적함수를 사용하는데, 제약 조건만 개별 자산 비중이 0보다 크고 개별 표준편차 가중합이 1이 되는 조건으로 푼 후에 자산 비중 합이 1이 되도록 표준화합니다.

간단하게는 분산 효과를 최대화하려고 노력하지 말고 분산 효과에 -1을 곱한 것을 최소화해도 됩니다. 나중에 구현할 때는 이 방식을 택할 것 같습니다.

위험 균형(Risk Parity) 방식은 포트폴리오 안에서 각 자산의 위험 기여도(Risk Contribution)가 같도록 하는 것입니다. 한계 위험 기여도(Marginal Risk Contribution)는 한 자산 비중을 한 단위 증가시킬 때 증가하는 전체 포트폴리오의 변동성입니다.

한계 위험 기여도는 아래처럼 풀어줄 수 있습니다.

각 자산의 위험 기여도를 같게 한다면 한계 위험 기여도가 큰 자산은 비중을 작게, 한계 위험 기여도가 작은 자산은 비중을 크게 가져가면 됩니다. 각 자산의 위험 기여도는 아래 식처럼 되고, 최적화는 각 자산의 위험 기여도의 차이를 제곱한 것의 합을 목적함수로 하여 그것을 최소화시키는(0으로 가는) 작업을 하면 됩니다.

Pan Agora의 Edward Qian은 그의 2011년 논문에서 아래와 같은 그림을 보여줍니다. Bridgewater Associates의 Risk Parity 관련한 논문에 있는 그림과 비슷한데, risk parity가 맞춰지면서 efficient frontier 위에 있게 되어 동일 변동성 중 최고 수익을 내는 주식과 채권 비중이 25:75라면 165% 정도의 레버리지를 사용해 60:40 스타일과 같은 변동성을 맞추어주면 수익이 아주 좋아진다는 그림입니다.

Lee (2011)은 위험 기반(risk based) 포트폴리오가 시가 총액 가중 같은 벤치마크보다 좋은 성과를 내지만, 미래 성과를 예측하기 위한 이론이 없다고 지적합니다. Lee (2011)은 위험 기반 포트폴리오가 포트폴리오의 효율성을 높이기보다는 경제학적 직관(economic intuition)이 가미되고 목표 변동성(target volatility) 설정이라는 유연성이 있어 조금 더 진보된 modern portfolio theory의 일원이라고 이야기합니다.

Chaves et al (2011)은 risk parity portfolio를 equal weight, minimum variance, mean variance optimal weight 등 몇 가지 heuristic portfolio와 비교합니다. 그들은 위험 균형 방식이 minimum variance, mean-variance optimization보다는 잘하지만 equal weight이나 60:40을 꾸준히 이긴 것은 아니라고 합니다. 그래도 사후적으로 나타난 위험 기여도가 비교적 고른 편이고 샤프 비율이 꾸준히 유지된다고 주장합니다.

Asness et al (2012)는 세계 여러 나라에서 60:40과 동일한 수준의 변동성을 맞춰준 위험 균형 방식이 60:40보다 성과이든 샤프 비율이든 더 우수하다고 보여줍니다. 그들은 leverage aversion(레버리지 회피)이라는 현상이 modern portfolio theory의 예측을 바꾸어 안전 자산이 위험 자산보다 높은 위험 조정 수익을 주도록 했다고 합니다. 이것을 이용하기 위해서는 레버리지가 필요하고, 자연히 레버리지 사용이 가능한 투자자들에게 혜택이 돌아갑니다. 위험 균형 방식은 안전 자산(저변동성)에 비중을 높게 주고, 레버리지를 사용하여 변동성을 다른 시장 포트폴리오와 비슷하게 맞춰준다면 위험 조정 수익이 높으니 같은 변동성에 더 높은 수익을 낼 수 있게 됩니다.

Risk Parity 방식이 여러 자료들에서 괜찮은 방식인 것으로 소개되고 있고, 저도 좋아하지만 완벽한 성배는 아닙니다. 원하는 수익을 내려면 target volatility에 맞추어 레버리지를 사용해야 하고, 이 레버리지가 위험으로 다가올 수 있습니다. 또, 어디까지나 과거 변동성으로 최적화한 것이기 때문에 예상 못한 변동성이 심한 장세에서는 효과적이지 않을 수 있습니다. 이후에는 Target Volatility를 설정한 Risk Parity 구현과 minimum variance, maximum diversification 구현을 해 볼 것입니다.

참고

Asness, C. S., Frazzini, A., & Pedersen, L. H. (2012). Leverage aversion and risk parity. Financial Analysts Journal, 68(1), 47-59.

Chaves, D., Hsu, J., Li, F., & Shakernia, O. (2011). Risk parity portfolio vs. other asset allocation heuristic portfolios. The Journal of Investing, 20(1), 108-118.

Choueifaty, Yves, and Yves Coignard. “Toward maximum diversification.” The Journal of Portfolio Management 35.1 (2008): 40-51.

Choueifaty, Y., Froidure, T., & Reynier, J. (2013). Properties of the most diversified portfolio. Journal of investment strategies, 2(2), 49-70.

Lee, W. (2011). Risk-based asset allocation: A new answer to an old question?.

Qian, E. (2011). Risk parity and diversification. The Journal of Investing, 20(1), 119-127.

https://wikidocs.net/91509